The Runtime Complexity (full) of the given CpxTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF).

(0) Obligation:

Runtime Complexity TRS:
The TRS R consists of the following rules:

a__incr(nil) → nil
a__incr(cons(X, L)) → cons(s(mark(X)), incr(L))
a__adx(nil) → nil
a__adx(cons(X, L)) → a__incr(cons(mark(X), adx(L)))
a__nats → a__adx(a__zeros)
a__zeros → cons(0, zeros)
a__head(cons(X, L)) → mark(X)
a__tail(cons(X, L)) → mark(L)
mark(incr(X)) → a__incr(mark(X))
mark(adx(X)) → a__adx(mark(X))
mark(nats) → a__nats
mark(zeros) → a__zeros
mark(head(X)) → a__head(mark(X))
mark(tail(X)) → a__tail(mark(X))
mark(nil) → nil
mark(cons(X1, X2)) → cons(mark(X1), X2)
mark(s(X)) → s(mark(X))
mark(0) → 0
a__incr(X) → incr(X)
a__adx(X) → adx(X)
a__nats → nats
a__zeros → zeros
a__head(X) → head(X)
a__tail(X) → tail(X)

Rewrite Strategy: FULL

(1) DecreasingLoopProof (EQUIVALENT transformation)

The following loop(s) give(s) rise to the lower bound Ω(n¹):
The rewrite sequence
a__tail(cons(X, tail(cons(X114187_3, X214188_3)))) →⁺ a__tail(cons(mark(X114187_3), X214188_3))
gives rise to a decreasing loop by considering the right hand sides subterm at position [].
The pumping substitution is [X214188_3 / tail(cons(X114187_3, X214188_3))].
The result substitution is [X / mark(X114187_3)].

(2) BOUNDS(n^1, INF)

(3) RenamingProof (EQUIVALENT transformation)

Renamed function symbols to avoid clashes with predefined symbol.

(4) Obligation:

Runtime Complexity Relative TRS:
The TRS R consists of the following rules:

a__incr(nil) → nil
a__incr(cons(X, L)) → cons(s(mark(X)), incr(L))
a__adx(nil) → nil
a__adx(cons(X, L)) → a__incr(cons(mark(X), adx(L)))
a__nats → a__adx(a__zeros)
a__zeros → cons(0', zeros)
a__head(cons(X, L)) → mark(X)
a__tail(cons(X, L)) → mark(L)
mark(incr(X)) → a__incr(mark(X))
mark(adx(X)) → a__adx(mark(X))
mark(nats) → a__nats
mark(zeros) → a__zeros
mark(head(X)) → a__head(mark(X))
mark(tail(X)) → a__tail(mark(X))
mark(nil) → nil
mark(cons(X1, X2)) → cons(mark(X1), X2)
mark(s(X)) → s(mark(X))
mark(0') → 0'
a__incr(X) → incr(X)
a__adx(X) → adx(X)
a__nats → nats
a__zeros → zeros
a__head(X) → head(X)
a__tail(X) → tail(X)

S is empty.
Rewrite Strategy: FULL

(5) TypeInferenceProof (BOTH BOUNDS(ID, ID) transformation)

Infered types.

(6) Obligation:

TRS:
Rules:
a__incr(nil) → nil
a__incr(cons(X, L)) → cons(s(mark(X)), incr(L))
a__adx(nil) → nil
a__adx(cons(X, L)) → a__incr(cons(mark(X), adx(L)))
a__nats → a__adx(a__zeros)
a__zeros → cons(0', zeros)
a__head(cons(X, L)) → mark(X)
a__tail(cons(X, L)) → mark(L)
mark(incr(X)) → a__incr(mark(X))
mark(adx(X)) → a__adx(mark(X))
mark(nats) → a__nats
mark(zeros) → a__zeros
mark(head(X)) → a__head(mark(X))
mark(tail(X)) → a__tail(mark(X))
mark(nil) → nil
mark(cons(X1, X2)) → cons(mark(X1), X2)
mark(s(X)) → s(mark(X))
mark(0') → 0'
a__incr(X) → incr(X)
a__adx(X) → adx(X)
a__nats → nats
a__zeros → zeros
a__head(X) → head(X)
a__tail(X) → tail(X)

Types:
a__incr :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail → nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail
nil :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail
cons :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail → nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail → nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail
s :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail → nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail
mark :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail → nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail
incr :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail → nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail
a__adx :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail → nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail
adx :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail → nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail
a__nats :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail
a__zeros :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail
0' :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail
zeros :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail
a__head :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail → nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail
a__tail :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail → nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail
nats :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail
head :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail → nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail
tail :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail → nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail
hole_nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail1_0 :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail
gen_nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail2_0 :: Nat → nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail

(7) OrderProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Heuristically decided to analyse the following defined symbols:
a__incr, mark, a__adx, a__nats, a__head, a__tail

They will be analysed ascendingly in the following order:
a__incr = mark
a__incr = a__adx
a__incr = a__nats
a__incr = a__head
a__incr = a__tail
mark = a__adx
mark = a__nats
mark = a__head
mark = a__tail
a__adx = a__nats
a__adx = a__head
a__adx = a__tail
a__nats = a__head
a__nats = a__tail
a__head = a__tail

(8) Obligation:

TRS:
Rules:
a__incr(nil) → nil
a__incr(cons(X, L)) → cons(s(mark(X)), incr(L))
a__adx(nil) → nil
a__adx(cons(X, L)) → a__incr(cons(mark(X), adx(L)))
a__nats → a__adx(a__zeros)
a__zeros → cons(0', zeros)
a__head(cons(X, L)) → mark(X)
a__tail(cons(X, L)) → mark(L)
mark(incr(X)) → a__incr(mark(X))
mark(adx(X)) → a__adx(mark(X))
mark(nats) → a__nats
mark(zeros) → a__zeros
mark(head(X)) → a__head(mark(X))
mark(tail(X)) → a__tail(mark(X))
mark(nil) → nil
mark(cons(X1, X2)) → cons(mark(X1), X2)
mark(s(X)) → s(mark(X))
mark(0') → 0'
a__incr(X) → incr(X)
a__adx(X) → adx(X)
a__nats → nats
a__zeros → zeros
a__head(X) → head(X)
a__tail(X) → tail(X)

Types:
a__incr :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail → nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail
nil :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail
cons :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail → nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail → nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail
s :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail → nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail
mark :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail → nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail
incr :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail → nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail
a__adx :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail → nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail
adx :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail → nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail
a__nats :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail
a__zeros :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail
0' :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail
zeros :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail
a__head :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail → nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail
a__tail :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail → nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail
nats :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail
head :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail → nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail
tail :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail → nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail
hole_nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail1_0 :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail
gen_nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail2_0 :: Nat → nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail

Generator Equations:
gen_nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail2_0(0) ⇔ nil
gen_nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail2_0(+(x, 1)) ⇔ cons(gen_nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail2_0(x), nil)

The following defined symbols remain to be analysed:
mark, a__incr, a__adx, a__nats, a__head, a__tail

They will be analysed ascendingly in the following order:
a__incr = mark
a__incr = a__adx
a__incr = a__nats
a__incr = a__head
a__incr = a__tail
mark = a__adx
mark = a__nats
mark = a__head
mark = a__tail
a__adx = a__nats
a__adx = a__head
a__adx = a__tail
a__nats = a__head
a__nats = a__tail
a__head = a__tail

(9) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Proved the following rewrite lemma:
mark(gen_nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail2_0(n4_0)) → gen_nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail2_0(n4_0), rt ∈ Ω(1 + n4₀)

Induction Base:
mark(gen_nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail2_0(0)) →_R^Ω(1)
nil

Induction Step:
mark(gen_nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail2_0(+(n4_0, 1))) →_R^Ω(1)
cons(mark(gen_nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail2_0(n4_0)), nil) →_IH
cons(gen_nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail2_0(c5_0), nil)

We have rt ∈ Ω(n¹) and sz ∈ O(n). Thus, we have irc_R ∈ Ω(n).

(10) Complex Obligation (BEST)

(11) Obligation:

TRS:
Rules:
a__incr(nil) → nil
a__incr(cons(X, L)) → cons(s(mark(X)), incr(L))
a__adx(nil) → nil
a__adx(cons(X, L)) → a__incr(cons(mark(X), adx(L)))
a__nats → a__adx(a__zeros)
a__zeros → cons(0', zeros)
a__head(cons(X, L)) → mark(X)
a__tail(cons(X, L)) → mark(L)
mark(incr(X)) → a__incr(mark(X))
mark(adx(X)) → a__adx(mark(X))
mark(nats) → a__nats
mark(zeros) → a__zeros
mark(head(X)) → a__head(mark(X))
mark(tail(X)) → a__tail(mark(X))
mark(nil) → nil
mark(cons(X1, X2)) → cons(mark(X1), X2)
mark(s(X)) → s(mark(X))
mark(0') → 0'
a__incr(X) → incr(X)
a__adx(X) → adx(X)
a__nats → nats
a__zeros → zeros
a__head(X) → head(X)
a__tail(X) → tail(X)

Types:
a__incr :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail → nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail
nil :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail
cons :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail → nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail → nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail
s :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail → nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail
mark :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail → nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail
incr :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail → nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail
a__adx :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail → nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail
adx :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail → nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail
a__nats :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail
a__zeros :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail
0' :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail
zeros :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail
a__head :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail → nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail
a__tail :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail → nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail
nats :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail
head :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail → nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail
tail :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail → nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail
hole_nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail1_0 :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail
gen_nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail2_0 :: Nat → nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail

Lemmas:
mark(gen_nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail2_0(n4_0)) → gen_nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail2_0(n4_0), rt ∈ Ω(1 + n4₀)

Generator Equations:
gen_nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail2_0(0) ⇔ nil
gen_nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail2_0(+(x, 1)) ⇔ cons(gen_nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail2_0(x), nil)

The following defined symbols remain to be analysed:
a__incr, a__adx, a__nats, a__head, a__tail

They will be analysed ascendingly in the following order:
a__incr = mark
a__incr = a__adx
a__incr = a__nats
a__incr = a__head
a__incr = a__tail
mark = a__adx
mark = a__nats
mark = a__head
mark = a__tail
a__adx = a__nats
a__adx = a__head
a__adx = a__tail
a__nats = a__head
a__nats = a__tail
a__head = a__tail

(12) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol a__incr.

(13) Obligation:

TRS:
Rules:
a__incr(nil) → nil
a__incr(cons(X, L)) → cons(s(mark(X)), incr(L))
a__adx(nil) → nil
a__adx(cons(X, L)) → a__incr(cons(mark(X), adx(L)))
a__nats → a__adx(a__zeros)
a__zeros → cons(0', zeros)
a__head(cons(X, L)) → mark(X)
a__tail(cons(X, L)) → mark(L)
mark(incr(X)) → a__incr(mark(X))
mark(adx(X)) → a__adx(mark(X))
mark(nats) → a__nats
mark(zeros) → a__zeros
mark(head(X)) → a__head(mark(X))
mark(tail(X)) → a__tail(mark(X))
mark(nil) → nil
mark(cons(X1, X2)) → cons(mark(X1), X2)
mark(s(X)) → s(mark(X))
mark(0') → 0'
a__incr(X) → incr(X)
a__adx(X) → adx(X)
a__nats → nats
a__zeros → zeros
a__head(X) → head(X)
a__tail(X) → tail(X)

Types:
a__incr :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail → nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail
nil :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail
cons :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail → nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail → nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail
s :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail → nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail
mark :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail → nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail
incr :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail → nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail
a__adx :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail → nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail
adx :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail → nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail
a__nats :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail
a__zeros :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail
0' :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail
zeros :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail
a__head :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail → nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail
a__tail :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail → nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail
nats :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail
head :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail → nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail
tail :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail → nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail
hole_nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail1_0 :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail
gen_nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail2_0 :: Nat → nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail

Lemmas:
mark(gen_nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail2_0(n4_0)) → gen_nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail2_0(n4_0), rt ∈ Ω(1 + n4₀)

Generator Equations:
gen_nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail2_0(0) ⇔ nil
gen_nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail2_0(+(x, 1)) ⇔ cons(gen_nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail2_0(x), nil)

The following defined symbols remain to be analysed:
a__adx, a__nats, a__head, a__tail

They will be analysed ascendingly in the following order:
a__incr = mark
a__incr = a__adx
a__incr = a__nats
a__incr = a__head
a__incr = a__tail
mark = a__adx
mark = a__nats
mark = a__head
mark = a__tail
a__adx = a__nats
a__adx = a__head
a__adx = a__tail
a__nats = a__head
a__nats = a__tail
a__head = a__tail

(14) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol a__adx.

(15) Obligation:

TRS:
Rules:
a__incr(nil) → nil
a__incr(cons(X, L)) → cons(s(mark(X)), incr(L))
a__adx(nil) → nil
a__adx(cons(X, L)) → a__incr(cons(mark(X), adx(L)))
a__nats → a__adx(a__zeros)
a__zeros → cons(0', zeros)
a__head(cons(X, L)) → mark(X)
a__tail(cons(X, L)) → mark(L)
mark(incr(X)) → a__incr(mark(X))
mark(adx(X)) → a__adx(mark(X))
mark(nats) → a__nats
mark(zeros) → a__zeros
mark(head(X)) → a__head(mark(X))
mark(tail(X)) → a__tail(mark(X))
mark(nil) → nil
mark(cons(X1, X2)) → cons(mark(X1), X2)
mark(s(X)) → s(mark(X))
mark(0') → 0'
a__incr(X) → incr(X)
a__adx(X) → adx(X)
a__nats → nats
a__zeros → zeros
a__head(X) → head(X)
a__tail(X) → tail(X)

Types:
a__incr :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail → nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail
nil :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail
cons :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail → nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail → nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail
s :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail → nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail
mark :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail → nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail
incr :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail → nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail
a__adx :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail → nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail
adx :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail → nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail
a__nats :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail
a__zeros :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail
0' :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail
zeros :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail
a__head :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail → nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail
a__tail :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail → nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail
nats :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail
head :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail → nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail
tail :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail → nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail
hole_nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail1_0 :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail
gen_nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail2_0 :: Nat → nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail

Lemmas:
mark(gen_nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail2_0(n4_0)) → gen_nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail2_0(n4_0), rt ∈ Ω(1 + n4₀)

Generator Equations:
gen_nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail2_0(0) ⇔ nil
gen_nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail2_0(+(x, 1)) ⇔ cons(gen_nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail2_0(x), nil)

The following defined symbols remain to be analysed:
a__nats, a__head, a__tail

They will be analysed ascendingly in the following order:
a__incr = mark
a__incr = a__adx
a__incr = a__nats
a__incr = a__head
a__incr = a__tail
mark = a__adx
mark = a__nats
mark = a__head
mark = a__tail
a__adx = a__nats
a__adx = a__head
a__adx = a__tail
a__nats = a__head
a__nats = a__tail
a__head = a__tail

(16) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol a__nats.

(17) Obligation:

TRS:
Rules:
a__incr(nil) → nil
a__incr(cons(X, L)) → cons(s(mark(X)), incr(L))
a__adx(nil) → nil
a__adx(cons(X, L)) → a__incr(cons(mark(X), adx(L)))
a__nats → a__adx(a__zeros)
a__zeros → cons(0', zeros)
a__head(cons(X, L)) → mark(X)
a__tail(cons(X, L)) → mark(L)
mark(incr(X)) → a__incr(mark(X))
mark(adx(X)) → a__adx(mark(X))
mark(nats) → a__nats
mark(zeros) → a__zeros
mark(head(X)) → a__head(mark(X))
mark(tail(X)) → a__tail(mark(X))
mark(nil) → nil
mark(cons(X1, X2)) → cons(mark(X1), X2)
mark(s(X)) → s(mark(X))
mark(0') → 0'
a__incr(X) → incr(X)
a__adx(X) → adx(X)
a__nats → nats
a__zeros → zeros
a__head(X) → head(X)
a__tail(X) → tail(X)

Types:
a__incr :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail → nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail
nil :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail
cons :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail → nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail → nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail
s :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail → nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail
mark :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail → nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail
incr :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail → nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail
a__adx :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail → nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail
adx :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail → nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail
a__nats :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail
a__zeros :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail
0' :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail
zeros :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail
a__head :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail → nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail
a__tail :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail → nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail
nats :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail
head :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail → nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail
tail :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail → nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail
hole_nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail1_0 :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail
gen_nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail2_0 :: Nat → nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail

Lemmas:
mark(gen_nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail2_0(n4_0)) → gen_nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail2_0(n4_0), rt ∈ Ω(1 + n4₀)

Generator Equations:
gen_nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail2_0(0) ⇔ nil
gen_nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail2_0(+(x, 1)) ⇔ cons(gen_nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail2_0(x), nil)

The following defined symbols remain to be analysed:
a__head, a__tail

They will be analysed ascendingly in the following order:
a__incr = mark
a__incr = a__adx
a__incr = a__nats
a__incr = a__head
a__incr = a__tail
mark = a__adx
mark = a__nats
mark = a__head
mark = a__tail
a__adx = a__nats
a__adx = a__head
a__adx = a__tail
a__nats = a__head
a__nats = a__tail
a__head = a__tail

(18) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol a__head.

(19) Obligation:

TRS:
Rules:
a__incr(nil) → nil
a__incr(cons(X, L)) → cons(s(mark(X)), incr(L))
a__adx(nil) → nil
a__adx(cons(X, L)) → a__incr(cons(mark(X), adx(L)))
a__nats → a__adx(a__zeros)
a__zeros → cons(0', zeros)
a__head(cons(X, L)) → mark(X)
a__tail(cons(X, L)) → mark(L)
mark(incr(X)) → a__incr(mark(X))
mark(adx(X)) → a__adx(mark(X))
mark(nats) → a__nats
mark(zeros) → a__zeros
mark(head(X)) → a__head(mark(X))
mark(tail(X)) → a__tail(mark(X))
mark(nil) → nil
mark(cons(X1, X2)) → cons(mark(X1), X2)
mark(s(X)) → s(mark(X))
mark(0') → 0'
a__incr(X) → incr(X)
a__adx(X) → adx(X)
a__nats → nats
a__zeros → zeros
a__head(X) → head(X)
a__tail(X) → tail(X)

Types:
a__incr :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail → nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail
nil :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail
cons :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail → nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail → nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail
s :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail → nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail
mark :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail → nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail
incr :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail → nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail
a__adx :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail → nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail
adx :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail → nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail
a__nats :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail
a__zeros :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail
0' :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail
zeros :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail
a__head :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail → nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail
a__tail :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail → nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail
nats :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail
head :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail → nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail
tail :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail → nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail
hole_nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail1_0 :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail
gen_nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail2_0 :: Nat → nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail

Lemmas:
mark(gen_nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail2_0(n4_0)) → gen_nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail2_0(n4_0), rt ∈ Ω(1 + n4₀)

Generator Equations:
gen_nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail2_0(0) ⇔ nil
gen_nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail2_0(+(x, 1)) ⇔ cons(gen_nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail2_0(x), nil)

The following defined symbols remain to be analysed:
a__tail

They will be analysed ascendingly in the following order:
a__incr = mark
a__incr = a__adx
a__incr = a__nats
a__incr = a__head
a__incr = a__tail
mark = a__adx
mark = a__nats
mark = a__head
mark = a__tail
a__adx = a__nats
a__adx = a__head
a__adx = a__tail
a__nats = a__head
a__nats = a__tail
a__head = a__tail

(20) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol a__tail.

(21) Obligation:

TRS:
Rules:
a__incr(nil) → nil
a__incr(cons(X, L)) → cons(s(mark(X)), incr(L))
a__adx(nil) → nil
a__adx(cons(X, L)) → a__incr(cons(mark(X), adx(L)))
a__nats → a__adx(a__zeros)
a__zeros → cons(0', zeros)
a__head(cons(X, L)) → mark(X)
a__tail(cons(X, L)) → mark(L)
mark(incr(X)) → a__incr(mark(X))
mark(adx(X)) → a__adx(mark(X))
mark(nats) → a__nats
mark(zeros) → a__zeros
mark(head(X)) → a__head(mark(X))
mark(tail(X)) → a__tail(mark(X))
mark(nil) → nil
mark(cons(X1, X2)) → cons(mark(X1), X2)
mark(s(X)) → s(mark(X))
mark(0') → 0'
a__incr(X) → incr(X)
a__adx(X) → adx(X)
a__nats → nats
a__zeros → zeros
a__head(X) → head(X)
a__tail(X) → tail(X)

Types:
a__incr :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail → nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail
nil :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail
cons :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail → nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail → nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail
s :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail → nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail
mark :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail → nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail
incr :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail → nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail
a__adx :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail → nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail
adx :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail → nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail
a__nats :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail
a__zeros :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail
0' :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail
zeros :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail
a__head :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail → nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail
a__tail :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail → nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail
nats :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail
head :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail → nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail
tail :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail → nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail
hole_nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail1_0 :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail
gen_nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail2_0 :: Nat → nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail

Lemmas:
mark(gen_nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail2_0(n4_0)) → gen_nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail2_0(n4_0), rt ∈ Ω(1 + n4₀)

Generator Equations:
gen_nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail2_0(0) ⇔ nil
gen_nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail2_0(+(x, 1)) ⇔ cons(gen_nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail2_0(x), nil)

No more defined symbols left to analyse.

(22) LowerBoundsProof (EQUIVALENT transformation)

The lowerbound Ω(n¹) was proven with the following lemma:
mark(gen_nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail2_0(n4_0)) → gen_nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail2_0(n4_0), rt ∈ Ω(1 + n4₀)

(23) BOUNDS(n^1, INF)

(24) Obligation:

TRS:
Rules:
a__incr(nil) → nil
a__incr(cons(X, L)) → cons(s(mark(X)), incr(L))
a__adx(nil) → nil
a__adx(cons(X, L)) → a__incr(cons(mark(X), adx(L)))
a__nats → a__adx(a__zeros)
a__zeros → cons(0', zeros)
a__head(cons(X, L)) → mark(X)
a__tail(cons(X, L)) → mark(L)
mark(incr(X)) → a__incr(mark(X))
mark(adx(X)) → a__adx(mark(X))
mark(nats) → a__nats
mark(zeros) → a__zeros
mark(head(X)) → a__head(mark(X))
mark(tail(X)) → a__tail(mark(X))
mark(nil) → nil
mark(cons(X1, X2)) → cons(mark(X1), X2)
mark(s(X)) → s(mark(X))
mark(0') → 0'
a__incr(X) → incr(X)
a__adx(X) → adx(X)
a__nats → nats
a__zeros → zeros
a__head(X) → head(X)
a__tail(X) → tail(X)

Types:
a__incr :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail → nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail
nil :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail
cons :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail → nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail → nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail
s :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail → nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail
mark :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail → nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail
incr :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail → nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail
a__adx :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail → nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail
adx :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail → nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail
a__nats :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail
a__zeros :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail
0' :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail
zeros :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail
a__head :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail → nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail
a__tail :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail → nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail
nats :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail
head :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail → nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail
tail :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail → nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail
hole_nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail1_0 :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail
gen_nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail2_0 :: Nat → nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail

Lemmas:
mark(gen_nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail2_0(n4_0)) → gen_nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail2_0(n4_0), rt ∈ Ω(1 + n4₀)

Generator Equations:
gen_nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail2_0(0) ⇔ nil
gen_nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail2_0(+(x, 1)) ⇔ cons(gen_nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail2_0(x), nil)

No more defined symbols left to analyse.

(25) LowerBoundsProof (EQUIVALENT transformation)

The lowerbound Ω(n¹) was proven with the following lemma:
mark(gen_nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail2_0(n4_0)) → gen_nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail2_0(n4_0), rt ∈ Ω(1 + n4₀)

(26) BOUNDS(n^1, INF)